【项目完成人】
柳絮、袁岗华、高夯
【完成单位】
东北师范大学数学与统计学院
【研究内容】
本项目属数学控制论学科领域，主要研究非线性和随机偏微分方程结构理论中一些基本的问题。主要发现包括：1）作为研究某些非线性发展方程控制问题的基础，建立了强耦合二阶椭圆方程组的弱极值原理。所考虑的方程组对耦合系数大小、方程个数和空间维数均无限制。2）提出了一套在古典解框架下研究高维拟线性抛物方程能控性的方法。研究了一类退化拟线性抛物方程在控制和状态都有约束时的能控性问题。3）发现了随机抛物系统能控性不同于确定性问题的新现象，随机系统的能控性关于系数的小扰动不抗干扰。提出了建立随机Carleman估计的新方法，可利用控制论的方法建立随机偏微分方程的先验估计，由确定性问题已有的结果直接推得随机问题的结果。4）解决了抛物方程和Schr-dinger方程的几类参数辨识问题。
【研究背景】
控制论是由美国数学家N.Wiener在上世纪四十年代创立的，是二十世纪最伟大的科学成就之一，现已发展成为一门具有广泛应用背景和深刻理论内涵的学科—控制科学。现代科学技术中的许多新概念和新方法都与控制科学密切联系。可以说，凡是通过外力影响系统的行为，以实现某些特定目标的问题都可以纳入到控制科学的研究范畴。
控制论的经典工作最初是针对较为简单的确定性有限维线性系统。随着在物理、工程、金融等领域应用背景的不断扩大，相关工作被推广到了更一般也更为复杂的随机系统、分布参数系统、非线性系统。以结构理论为例，2010年国际数学家大会的一个邀请综述报告曾指出：非线性系统的研究“quitedifficult”，而随机系统“verylittleisknown”。这一领域许多问题的研究还是空白。
自控制科学诞生之日起，数学一直是不可或缺的基本工具。现代控制科学的研究用到的数学工具日益广泛，微分方程、泛函分析、随机过程和随机分析、代数几何，乃至数论等，都在其中发挥了重要作用。而控制科学的发展也促进了数学学科的发展，甚至导致了某些数学分支的产生，如偏微分方程的粘性解理论、倒向随机微分方程等。一些复杂的控制问题涉及的数学问题远非平易，甚至需要发展或引入新的数学工具。
本项目以此为背景，主要研究了与拟线性抛物系统和一些随机偏微分方程的能控性和反问题相关的数学问题。
【研究价值】
完善了非线性和随机分布参数系统的结构理论，为其在实际问题的应用提供了理论依据。主要工作被国际数学家大会综述报告、知名学者专著和综述文章等引用，被公开评价为：“quiteuseful”“quiteinterestingandsurprising”“anewphenomenon”“importantprogress”“themostrepresentativeworks”。
【研究体会】
虽然非线性和随机分布参数系统控制理论的研究已取得了丰富的研究成果，仍存在一些理论滞后限制其应用的问题，亟待引入新的数学工具和控制理论。这是数学控制论值得大力发展研究的一个方向。